Skip to article frontmatter Skip to article content

Site not loading correctly?

This may be due to an incorrect BASE_URL configuration. See the MyST Documentation for reference.

Made with MyST

OSN Matematika SMA

Modul 1 - Aljabar

Modul 2 - Geometri

Modul 3 - Kombinatorik

Modul 4 - Teori Bilangan

Made with MyST

Uji Kompetensi

Exercise 1 (OSK 2002)

Bilangan $n$ terbesar sehingga 44⁴⁴ habis dibagi $8^n$ adalah....
a. 8
b. 22
c. 29
d. 44
e. 88

Exercise 2 (OSK 2002)

Berapa banyak pasangan bilangan asli $(a,b)$ yang memenuhi $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{6}$ ?
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 5

Exercise 3 (OSK 2002)

Tentukan jumlah semua bilangan prima antara 1 dan 100 yang bersifat: satu lebihnya dari suatu bilangan kelipatan 5 dan satu kurangnya dari suatu bilangan kelipatan 6

Exercise 4 (OSK 2003)

Ada berapa banyak di antara bilangan-bilangan 20000002, 20011002, 20022002, 20033002 yang habis dibagi 9?
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4

Exercise 5 (OSK 2003)

Ada berapa banyak bilangan 4 angka yang semua angkanya genap dan bukan kelipatan 2003
a. 499
b. 500
c. 624
d. 625
e. Tidak ada pada pilihan di atas

Exercise 6 (OSK 2003)

Misalkan $N$ adalah bilangan bulat terkecil yang bersisa 2 jika dibagi 5, sisa 3 jika dibagi 7, sisa 4 jika dibagi 9. Tentukan jumlah digit $N$
a. 4
b. 8
c. 13
d. 22
e. 40

Exercise 7 (OSK 2003)

Jika $a^2-b^2=2003$ dengan $a, b$ bilangan bulat. Berapa nilai $a^2+b^2$ ? (Diketahui 2003 bilangan prima)

Exercise 8 (OSK 2004)

Bilangan 2004 memiliki faktor selain 1 dan 2004 sendiri sebanyak....
a. 3
b. 4
c. 6
d. 10
e. 12

Exercise 9 (OSK 2004)

Exercise 10 (OSK 2004)

Untuk dua bilangan bulat $a$ dan $b$ , penulisan $a*b$ menyatakan sisa tak negatif $ab$ jika dibagi 5. Nilai $(-3)*4=$ ....

Exercise 11 (OSK 2005)

Mana diantara ekspresi berikut yang angka terakhrinya berturut-turut bukan 5, 6, 8, 9, atau 0?
a. $5^{5^{5^5}}$
b. $6^{6^{6^6}}$
c. $8^{8^{8^8}}$
d. $9^{9^{9^9}}$
e. $10^{{10}^{{10}^{10}}}$

Exercise 12 (OSK 2005)

Faktor prima terbesar dari 2005 adalah....

Exercise 13 (OSK 2005)

Tentukan semua bilangan tiga-angka sehingga nilai bilangan itu adalah 30 kali jumlah ketiga angka itu

Exercise 14 (OSK 2005)

Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat positif $(m,n)$ yang merupakan solusi dari persamaan $\frac{4}{m}+\frac{2}{n}=1$

Exercise 15 (OSK 2006)

Jumlah tiga bilangan prima pertama yang lebih besar dari 50 adalah....
a. 169
b. 171
c. 173
d. 175
e. 177

Exercise 16 (OSK 2006)

Banyaknya solusi pasangan bilangan bulat positif dari persamaan $3x+5y=501$ adalah....
a. 33
b. 34
c. 35
d. 36
e. 37

Exercise 17 (OSK 2006)

Dimas membeli majalah setiap 5 hari sekali, Sedangkan Andre membeli majalah setiap 8 hari sekali. Kemarin Dimas membeli majalah. Andre membeli majalah hari ini ini. Keduanya paling cepat akan membeli majalah pada hari yang sama.... hari lagi.

Exercise 18 (OSK 2007)

Misalkan $H$ adalah himpuan semua faktor positif dari 2007. Banyaknya himpunan bagian dari $H$ yang tidak kosong adalah....
a. 6
b. 31
c. 32
d. 63
e. 64

Exercise 19 (OSK 2007)

Misalkan $N$ sebuah bilangan asli dua-angka dan $M$ adalah bilangan asli yang diperoleh dengan mempertukarkan kedua angka $N$ . Bilangan prima yang selalu habis membagi $N-M$ adalah....
a. 2
b. 3
c. 7
d. 9
e. 11

Exercise 20 (OSK 2007)

Jika $n$ adalah bilangan asli sehingga $3^n$ adalah faktor prima dari $33!$ , maka nilai $n$ terbesar yang mungkin adalah....

Exercise 21 (OSK 2008)

Banyak faktor positif dari $5!$ adalah....
a. 4
b. 5
c. 16
d. 24
e. 120

Exercise 22 (OSK 2008)

Jumlah empat bilangan asli berurutan senantiasa habis dibagi $p$ . Nilai $p$ terbesar adalah....
a. 1
b. 2
c. 4
d. 5
e. 7

Exercise 23 (OSK 2008)

Diketahui $FPB(a, 2008)=251$ , jika $a>2008$ , maka nilai terkecil yang mungkin bagi $a$ adalah....

Exercise 24 (OSK 2008)

Himpunan semua bilangan asli yang sama dengan enam kali jumlah angka-angkanya adalah....

Exercise 25 (OSK 2009)

Nilai dari $\sum_{k=1}^{2009} FPB(k,7)$ adalah....

Exercise 26 (OSK 2009)

Banyaknya pasangan bilangan asli $(x,y)$ sehingga $x^4+4y^4$ merupakan bilangan prima adalah....

Exercise 27 (OSK 2009)

Jika 10^999999999 dibagi oleh 7, maka sisanya adalah....

Exercise 28 (OSK 2010)

Diketahui bahwa ada tepat 1 bilangan asli $n$ sehingga $n^2+n+2010$ merupakan kuadrat sempurna. Bilangan asli $n$ tersebut adalah....

Exercise 29 (OSK 2010)

Pasangan bilangan asli $(x,y)$ yang memenuhi $2x+5y=2010$ sebanyak....

Exercise 30 (OSK 2010)

Nilai $n$ terkecil sehingga bilangan $\underbrace{201020102010 \dots 2010}_{n \text{ buah } 2010}$ habis dibagi 99 adalah....

Exercise 31 (OSK 2010)

Misalkan $S$ menyatakan himpunan semua faktor positif dari 2010². Sebuah bilangan diambil secara acak dari $S$ . Peluang bilangan yang terambil habis dibagi 2010 adalah....

Exercise 32 (OSK 2010)

Diketahui $p$ adalah bilangan prima sehingga terdapat pasangan bilangan bulat positif $(x,y)$ yang memenuhi $x^2+xy=2y^2+30p$ . Banyak pasangan bilangan bulat positif $(x,y)$ yang memenuhi ada sebanyak....

Exercise 33 (OSK 2011)

Tentukan semua bilangan bulat positif $p$ sedemikian sehingga $p, p+8$ , dan $p+16$ adalah prima?

Exercise 34 (OSK 2011)

Bilangan asli terkecil lebih dari 2011 yang bersisa 1 jika dibagi 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 10 adalah....

Exercise 35 (OSK 2011)

Bilangan bulat positif terkecil $a$ sehingga $2a+4a+6a+\cdots+200a$ merupakan kuadrat sempurna adalah....

Exercise 36 (OSK 2011)

Ada berapa faktor positif dari $2^7 3^5 5^3 7^2$ yang merupakan kelipatan 10?

Exercise 37 (OSK 2012)

Banyaknya pasangan bilangan asli berbeda yang selisih kuadratnya 2012 adalah....

Exercise 38 (OSK 2012)

Bilangan terbesar $x$ kurang dari 1000 sehingga terdapat tepat dua bilangan asli $n$ sehingga $\frac{n^2+x}{n+1}$ merupakan bilangan asli adalah....

Exercise 39 (OSK 2012)

Misalkan $a, b, c, d$ , dan $e$ adalah bilangan-bilangan bulat sehingga $2^a 3^b 4^c 5^d 6^e$ juga merupakan bilangan bulat. Jika diketahui bahwa nilai dari $a, b, c, d$ , dan $e$ tidak lebih dari 2012, maka nilai terkecil yang mungkin dari $a+b+c+d+e$ adalah....

Exercise 40 (OSK 2012)

Ada berapa faktor positif dari $2^7 3^5 5^3 7^2$ yang merupakan kelipatan 6?

Exercise 41 (OSK 2013)

Misalkan $p$ dan $q$ bilangan prima. Jika diketahui persamaan $x^{2014}-px^{2013}+q=0$ mempunyai akar-akar bulat, maka nilai $p+q$ adalah....

Exercise 42 (OSK 2013)

Tentukan semua bilangan tiga digit yang memenuhi syarat bahwa bilangan tersebut sama dengan penjumlahan dari faktorial setiap digitnya.

Exercise 43 (OSK 2013)

Diketahui $x_1, x_2$ adalah dua bilangan bulat berbeda yang merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat $x^2+px+q+1=0$ . Jika $p$ dan $p^2+q^2$ adalah bilangan-bilangan prima, maka nilai terbesar yang mungkin dari $x_1^{2013}+x_2^{2013}$ adalah....

Exercise 44 (OSK 2014)

Bilangan-bilangan $1111,5276,8251,$ dan 9441 bersisa sama jika dibagi $N$ . Nilai $N$ terbesar yang memiliki sifat tersebut adalah....

Exercise 45 (OSK 2014)

Semua pasangan bilangan prima $(p,q)$ yang memenuhi persamaan $(7p-q)^2=2(p-1)q^2$ adalah....

Exercise 46 (OSK 2014)

Diketahui bahwa $20!+14!=243290a0953b931200$ . Nilai $a$ dan $b$ adalah....

Exercise 47 (OSK 2014)

Semua bilangan bulat $n$ sehingga $n^4-51n^2+225$ merupakan bilangan prima adalah....

Exercise 48 (OSK 2015)

Banyaknya faktor bulat positif dari 2015 adalah....

Exercise 49 (OSK 2015)

Bilangan bulat $x$ jika dikalikan 11 terletak di antara 1500 dan 2000. Jika $x$ dikalikan 7 terletak di antara 970 dan 1275. Jika $x$ dikalikan 5 terletak di antara 690 dan 900. Banyaknya bilangan $x$ sedemikian yang habis dibagi 3 sekaligus habis dibagi 5 ada sebanyak....

Exercise 50 (OSK 2015)

Bilangan $x$ adalah bilangan bulat positif terkecil yang membuat

31^n+x\cdot 96^n

(1)

merupakan kelipatan 2015 untuk setiap bilangan asli $n$ . Nilai $x$ adalah....

Exercise 51 (OSK 2015)

Semua bilangan bulat $n$ yang memenuhi

p(n)=\frac{n^8+n^7+n^6+2n^5+2n^4+2n^3+2n^2+2017}{n^2-n+1}

(2)

bulat adalah....

Exercise 52 (OSK 2015)

Banyaknya bilangan asli $n\leq 2015$ yang dapat dinyatakan dalam bentuk $n=a+b$ dengan $a,b$ bilangan asli yang memenuhi $a-b$ bilangan prima dan $ab$ bilangan kuadrat sempurna adalah....

Exercise 53 (OSK 2016)

Banyak bilangan asli $n$ yang memenuhi sifat hasil jumlah $n$ dan suatu pembagi positif $n$ yang kurang dari $n$ sama dengan 2016 adalah....

Exercise 54 (OSK 2016)

Palindrom adalah bilangan yang sama dibaca dari depan atau dari belakang. Sebagai contoh 12321 dan 32223 merupakan palindrom. Palindorm 5 digit yang habis dibagi 303 adalah....

Exercise 55 (OSK 2017)

Misalkan $s(n)$ menyatakan faktor prima terbesar dari $n$ dan $t(n)$ menyatakan faktor prima terkecil dari $n$ . Banyaknya bilangan asli $n\in \{1,2,3,\cdots, 100\}$ sehingga $t(n)+1=s(n)$ adalah....

Exercise 56 (OSK 2017)

Fungsi $f$ memetakan himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan bulat tak negatif. Fungsi tersebut memenuhi $f(1)=0$ dan untuk setiap bilangan asli berbeda $m,n$ dengan $m|n$ , berlaku $f(m)<f(n)$ . Jika diketahui $f(8!)=11$ , maka nilai dari $f(2016)$ adalah....

Exercise 57 (OSK 2017)

Bilangan asli terbesar $n$ sehingga $n!$ dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian dari $n-4$ bilangan asli berurutan adalah....

Exercise 58 (OSK 2017)

Untuk sebarang bilangan asli $n$ , misalkan $S(n)$ adalah jumlah digit-digit dari $n$ dalam penulisan desimal. Jika $S(n)=5$ , maka nilai maksimum dari $S(n^5)$ adalah....

Exercise 59 (OSK 2018)

Untuk setiap bilangan asli $n$ didefinisikan $s(n)$ sebagai hasil penjumlahan dari semua digit-digit dari $n$ . Banyaknya bilangan asli $d$ sehingga $d$ habis membagi $n-s(n)$ untuk setiap bilangan asli $n$ adalah....

Exercise 60 (OSK 2018)

Diketahui $x$ dan $y$ bilangan prima dengan $x<y$ , dan $x^3+y^3+2018=30y^2-300y+3018$ . Nilai $x$ yang memenuhi....

Exercise 61 (OSK 2018)

Diberikan dua bilangan asli dua angka yang selisihnya 10. Diketahui bahwa bilangan yang kecil merupakan kelipatan 3, sedangkan yang lainnya merupakan kelipatan 7. Diketahui pula bahwa jumlah semua faktor prima kedua bilangan tersebut adalah 17. Jumlah dua bilangan tersebut adalah....

Exercise 62 (OSK 2018)

Bilangan prima terbesar yang dapat dinyatakan dalam bentuk $a^4+b^4+13$ untuk suatu bilangan-bilangan prima $a$ dan $b$ adalah....

Exercise 63 (OSK 2019)

Kedua akar persamaan kuadrat $x^2-11x+k=0$ adalah bilangan prima. Nilai $k$ adalah....

Exercise 64 (OSK 2019)

Misalkan $n$ adalah bilangan asli terkecil yang semua digitnya sama dan sedikitnya terdiri dari 2019 digit. Jika $n$ habis dibagi 126, maka hasil penjumlahan semua digit dari $n$ adalah....

Exercise 65 (OSK 2019)

Sisa pembagian 1111²⁰¹⁹ oleh 11111 adalah....

Exercise 66 (OSK 2019)

Semua bilangan bulat $n$ sehingga $n^4+16n^3+71n^2+56n$ merupakan bilangan kuadrat tak nol adalah....

Exercise 67 (OSK 2019)

Banyaknya tripel bilangan bulat $(m, n, p)$ dengan $p$ prima yang memenuhi

p^2n^2-3mn=21p-m^2

(3)

adalah....

Exercise 68 (OSK 2020)

Misalkan $x, y$ bilangan asli sehingga $2x+3y=2020$ . Nilai terbesar yang mungkin dari $3x+2y$ adalah....

Exercise 69 (OSK 2020)

Misalkan $n\geq 2$ bilangan asli sedemikian sehingga untuk setiap bilangan asli $a, b$ dengan $a+b=n$ berlaku $a^2+b^2$ merupakan bilangan prima. Hasil penjumlahan semua bilangan asli $n$ semacam itu adalah....

Exercise 70 (OSK 2020)

Misalkan $p$ suatu bilangan prima sehingga terdapat pasangan bilangan asli $(m,n)$ dengan $n>1$ yang memenuhi $mn^2+mnp+m+n+p=mn+mp+np+n^2+2020$ . Semua nilai $p$ yang mungkin adalah....

Exercise 71 (OSK 2020)

Kwartet bilangan asli $(a,b,c,d)$ dikatakan \textit{keren} jika memenuhi $b=a^2+1, c=b^2+1, d=c^2+1$ dan $\tau(a)+\tau(b)+\tau(c)+\tau(d)$ bilangan ganjil. Banyaknya kwartet \textit{keren} $(a,b,c,d)$ dengan $a, b, c, d < 10^6$ adalah....
Catatan: Untuk bilangan asli $k$ , $\tau(k)$ menyatakan banyak faktor positif dari $k$

Exercise 72 (OSK 2020)

Bilangan asli $n$ terkecil sehingga $n+3$ dan $2020n+1$ bilangan kuadrat sempurna adalah....

Exercise 73 (OSK 2021)

Diberikan dua bilangan bulat positif $A$ dan $B$ berturut-turut bersisa 2 dan 3 jika dibagi 5. Sisa pembagian $A(A+1)+5B$ jika dibagi 25 adalah....

Exercise 74 (OSK 2021)

Bilangan $m$ terdiri dari bilangan 1 sampai 999 dituliskan dari kiri ke kanan, yaitu $m=12345...998999$ . Jumlah digit ke-2021, ke-2022 dan ke-2023 dari $m$ adalah....

Exercise 75 (OSK 2021)

Suatu bilangan asli $n$ dikatakan \textit{menarik} jika terdapat polinomial berkoefisien bulat $P$ yang memenuhi $P(7)=2021$ dan $P(n)=2045$ . Banyak prima yang \textit{menarik} adalah....

Exercise 76 (OSK 2021)

Dua digit terkahir dari $a^{777}$ adalah 77. Dua digit terkahir dari $a$ adalah....

Exercise 77 (OSK 2021)

Diberikan $a_n=n^2+19n+b$ . Bilangan ganjil terbesar $b$ sedemikian sehingga $gcd(a_n,a_{n+1})=gcd(a_{n+2},a_{n+1})$ untuk setiap bilangan asli $n$ adalah....

Exercise 78 (OSK 2021)

Diberikan $x, y, n$ merupakan bilangan asli yang memenuhi $x^2+(y+2)x+(n+1)y=n^2+252$ . Nilai $y$ terbesar adalah....

Exercise 79 (OSK 2022)

Banyaknya bilangan bulat dari 1001 sampai 2022 yang habis dibagi 15 atau 9 adalah....

Exercise 80 (OSK 2022)

Untuk setiap bilangan asli $n$ , misalkan $S(n)$ menyatakan hasil penjumlaahn semua digit dari $n$ , diberikan barisan $\{a_n\}$ dengan $a_1=5$ dan $a_n=(S(a_{n-1}))^2-1$ untuk $n \geq 2$ . Sisa pembagian $a_1+a_2+\cdots +a_{2022}$ oleh 21 adalah....

Exercise 81 (OSK 2022)

Jika bilangan asli $x$ sehingga $x^2+110x$ adalah bilangan pangkat 3 dari suatu bilangan prima, maka nilai $x=$ ....

Exercise 82 (OSK 2022)

Misalkan $m, n$ bilangan asli. Jika $FPB(m,n)=7$ dan $FPB(2m, 3n)=42$ , maka $FPB(21m, 14n)$ adalah....

Exercise 83 (OSK 2022)

Diberikan $x, y, z$ bilangan bulat yang memenuhi $x^2y+y^2z+z^2x-23=xy^2+yz^2+zx^2-25=3xyz$ . Nilai terbesar dari $x+y+z$ adalah....

Exercise 84 (OSK 2023)

Suatu bilangan empat digit $8ab9$ merupakan suatu bilangan kuadrat. Nilai dari $a+b$ adalah....

Exercise 85 (OSK 2023)

Sisa pembagian dari $5^{2021}+11^{2022}$ oleh 64 adalah....

Exercise 86 (OSK 2023)

Jika bilangan asli $x$ dan $y$ memenuhi

x(x-y)=6y-7.

(4)

Nilai dari $x+y$ adalah....

Exercise 87 (OSK 2023)

Misal $N=2^a\cdot 3^b$ dengan $a,b$ bilangan asli. Jika hasil kali semua faktor positif dari $N$ adalah 24⁶⁰, maka nilai $ab$ adalah....

Exercise 88 (OSK 2023)

Misal $p$ dan $n$ adalah dua bilangan asli dengan $p$ prima sehingga $p$ membagi $n^2+4$ dan $n$ membagi $p^2+4$ . Jika $p < 200$ , nilai terbesar yang mungkin dari $n$ adalah....

Exercise 89 (OSK 2024)

Banyak bilangan dua digit $\overline{ab}$ dengan $a, b \neq 0$ sehingga $\overline{ab}+\overline{ba}$ merupakan kelipatan 66 adalah....

Exercise 90 (OSK 2024)

Misalkan $k$ adalah bilangan bulat positif terkecil kelipatan 2024 yang memiliki 28 faktor positif. Sisa hasil bagi $k$ oleh 100 adalah....

Exercise 91 (OSK 2024)

Untuk setiap bilangan asli $n$ , misalkan $f(n)$ menyatakan faktor ganjil terbesar dari $n$ dan $p(n)=f(n)+f(n+1)+\dots+f(2n)$ . Jika $p(n)=8145$ , maka $n$ adalah....

Exercise 92 (OSK 2024)

Untuk setiap bilangan real $x$ notasi $\lfloor x \rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan $x$ . Sebagai contoh, $\lfloor 1,1\rfloor =1, \lfloor 3\rfloor =3$ , dan sebagainya. Jika tepat sebanyak 1000 bilangan berbeda pada barisan

\left\lfloor \frac{1^2}{2024} \right\rfloor, \left\lfloor \frac{2^2}{2024} \right\rfloor, \left\lfloor \frac{3^2}{2024} \right\rfloor, \cdots, \left\lfloor \frac{4^2}{2024} \right\rfloor

(5)

maka nilai $n$ adalah....

Exercise 93 (OSK 2025)

Diketahui $n^2+4n+3=16m$ . Banyak bilangan bulat $n$ di mana $1 \leq n \leq 110$ dan $m$ bilangan bulat adalah....

Exercise 94 (OSK 2025)

Bilangan bulat positif terkecil $n$ sehingga $n!$ habis dibagi 1430 adalah....

Exercise 95 (OSK 2025)

Jika

FPB(1+2+...+n, 1^2+2^2+...+n^2)<100

(6)

maka nilai maksimum dari $n$ adalah....

Exercise 96 (OSK 2025)

Digit-digit dari bilangan $6,7,8,...,n$ dituliskan dari kiri ke kanan membentuk suatu bilangan baru $k$ . Nilai $n$ terkecil sehingga $k$ habis dibagi 7 adalah....

Exercise 97 (OSK 2025)

Hasil penjumlahan semua bilangan asli $n$ sehingga sistem persamaan

\begin{align*} nx+y=85\\ 2x+(n+1)y=30 \end{align*}

(7)

memiliki solusi bilangan bulat $(x,y)$ adalah....

Modul 4 - Teori Bilangan

Persamaan Kongruensi